Thursday, May 16, 2019

Trigonometri

adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.

Pengukuran Sudut

Berdasarkan gambar di atas dapat kita simpulkan bahwa pengukuran sudut merupakan salah satu aspek penting dalam pengukuran dan pemetaan kerangka maupun titik-titik detail.Sistem besaran sudut yang dipakai juga berbeda antara satu dengan yang lainnya. Sistem besaran sudut pada pengukuran dan pemetaan dapat terdiri dari:

Sistem Besaran Sudut Seksagesimal

Sistem Besaran Sudut Sentisimal

Sistem Sesaran Sudut Radian

Dasar untuk mengukur besaran sudutnya seperti suatu lingkaran yang dibagi menjadi empat bagian, yang dinamakan kuadran yaitu Kudran I, II, III dan kuadran IV.

Untuk cara sexagesimal lingkaran dapat dibagi menjadi 360 bagian yang sama dan tiap bagiannya disebut derajat. Maka 1 kuadran dalam lingkaran tersebut = 900.

1o = 60’ 1’ = 60” 1o = 3600”

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku – Siku

Untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku pertama adalah:

Dan untuk definisi perbandingan trigonometri sudut siku-siku kedua, adalah:

Nilai Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut – Sudut Istimewa

Nilai perbandingan memiliki beberapa tabel yang akan memudahkan kamu untuk menemukan hasilnya. Tabel itu sendiri memiliki 2 jenis tabel Istimewa. Ada apa saja? Yuk, perhatikan tabel di bawah ini:

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa pertama

Tabel perbandingan trigonometri sudut istimewa kedua

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trinogometri I

Perbandingan sudut dan relasi trigonometri merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku yang hanya memenuhi sudut kuadran I dan sudut lancip (0 − 90°). Untuk contohnya kamu bisa perhatikan gambar di bawah ini ya!

Perbandingan Sudut dan Sudut Relasi Trigonometri II

Untuk setiap α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) akan menghasilkan sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut:

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara. Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama.

Ada beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu kamu ketahui seperti:

Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear adalah persamaan-persamaan linear yang dikorelasikan untuk membentuk suatu sistem. Sistem persamaannya bisa terdiri dari satu variabel, dua variabel atau lebih. Dalam bahasan ini, kita hanya membahas sistem persamaan linear dengan dua dan tiga variabel.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari dua persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki dua variabel. Contoh SPLDV dengan variabel $x$ dan $y$ :

$\begin{cases}ax+by=c \\ px-qy=r \end{cases}$

dimana $a, b, c, p, q$ , dan $r$ adalah bilangan-bilangan real.

Penyelesaian SPLDV

Penyelesaian SP:DV bertujuan untuk menentukan nilai yang memenuhi kedua persamaan yang ada pada SPLDV. Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yaitu:

Metode grafik

Pada metode grafik ini, langkah-langkah yang dilakukan pertama adalah menentukan grafik garis dari masing-masing persamaan kemudian menentukan titik potong dari kedua garis. Titik potong dari kedua garis tersebut adalah penyelesaian dari SPLDV.

Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:

$\begin{cases}-x+y=1 \\ x+y=5 \end{cases}$

Jawab:
Langkah pertama tentukan garis dari masing-masing persamaan.

Setelah diperoleh grafik dari kedua persamaan, sekarang menentukan titik potong dari kedua garis dan menentukan koordinat dari titik potong tesebut.

Dari grafik sistem persamaan linear diatas diperoleh titik potong dengan koordinat $(2, 3)$ , sehingga penyelesaian dari SPLDV adalah $2, 3$ .

Untuk membuktikan penyelesaian dari SPLDV, penyelesaian tersebut kita subtitusikan ke persamaan dengan $x=2$ dan $y=3$ .

$\begin{cases} -(2) + (3) = 1 \\ 2+3=5 \end{cases}$

Pada metode grafik ini, terdapat beberapa jenis himpunan penyelesaian berdasarkan grafik persamaan, yaitu:

- Jika kedua garis berpotongan, maka perpotonga kedua garis adalah penyelesaian dari SPLDV dan memiliki satu penyelesaian.
- Jika kedua garis sejajar, maka SPLDV tidak memiliki penyelesaian
- Jika kedua garis saling berhimpit, maka SPLDV memiliki tak berhingga himpunan penyelesaian.

Metode eliminasi

Pada metode eliminasi ini, menentukan penyelesaian dari variabel $x$ dengan cara mengeliminasi variabel $y$ , dan untuk menentukan penyelesaian variabel $y$ dengan cara mengeliminasi variabel $x$ .

Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut:

$\begin{cases} -x +y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end{cases}$

Jawab:
Pertama menentukan penyelesaian dari variabel $x$ .

Mengeliminasi variabel $y$ dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan I dengan persamaan II.

Diperoleh persamaan akhir $-2x = -4$ , bagi kedua ruas dengan -2, diperoleh penyelesaian $x=2$ .

Kedua menentukan penyelesaian dari variabel $x$

Mengeliminasi variabel $x$ dapat dilakukan dengan menjumlahkan persamaan I dengan persamaan II.

Diperoleh persamaan akhir $2y=6$ , bagi kedua ruas dengan 2, diperoleh penyelesaian $y=3$

Sehingga himpunan penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah $(2, 3)$ .

Metode substitusi

Pada metode substitusi, langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah salah satu persamaan menjadi persamaan fungsi, yaitu $x$ sebagai fungsi dari $y$ atau $y$ sebagai fungsi dari $x$ . Kemudian subtitusikan $x$ atau $y$ pada persamaan yang lain.

Contoh Soal:
Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:

$\begin{cases} -x+y=1 \cdots (I) \\ x+y=5 \cdots (II) \end{cases}$

Jawab:
Ubah persamaan (I) menjadi bentuk fungsi $-x+y=1$ dengan memindahkan variabel $x$ ke ruas kanan menjadi $y=1+x$ .

Kemudian persamaan fungsi $y$ disubtitusikan pada persamaan (II), menjadi $x+(1+x)=5$ . Diperoleh persamaan $2x+1=5$ dan kurangi masing-masing ruas dengan 1, menjadi $2x-4$ . Kemudian bagi kedua ruas dengan 2 menjadi $x=2$ . Hasil variabel $x$ disubtitusikan pada salah satu persamaan awal, misal pada persamaan (I), menjadi $-(2)=y=1$ , jadi $y=1+2$ atau $y=3$ .

Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel nya adalah $(2, 3)$ .

Metode eliminasi-subtitusi

Metode ini adalah gabungan dari metode eliminasi dan subtitusi. Pertama eliminasi salah satu variabel, kemudian penyelesaian dari variabel yang diperoleh disubtitusikan pada salah satu persamaan.

Coba kerjakan soal di atas dengan menggunakan metode eliminasi-substitusi.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari tiga persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel. Contoh SPLTV dengan variabel $x, y$ dan $z$ :

$\begin{cases} a_1x_1+b_1y_1+c_1z_1=d_1 \\ a_2x_2+b_2y_2+c_2z_2=d_2 \\ a_3x_3+b_3y_3+c_3z_3=d_3 \end{cases}$

dimana $a, b, c$ dan $d$ adalah bilangan-bilangan real.

Pada SPLTV terdapat 2 cara penyelesaian, yaitu:

Metode Subtitusi

Langkah yang dilakukan pada metode ini yaitu:

Ubah salah satu persamaan yang ada pada sistem dan nyatakan $x$ sebagai fungsi dari $y$ dan $z$ , atau $y$ sebagai fungsi dari $x$ dan $z$ , atau $z$ sebagai fungsi dari $x$ dan $y$ ..
Subtitusikan fungsi $x$ atau $y$ atau $z$ dari langkah pertama pada dua persamaan yang lain, sehingga diperoleh SPLDV.
Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan metode yang dibahas pada penyelesaian SPLDV di atas.

Contoh Soal:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel berikut:

$\begin{cases} x-2y+z=6 \cdots (I) \\ 3x+y-2z=4 \cdots (II) \\ 7x-6y-z=10 \cdots (III) \end{cases}$ .

Jawab:

Langkah pertama, nyatakan persamaan (I) menjadi fungsi dari $x$ , yaitu: $x-2y+z=6 \Rightarrow x=6+2y-z$ . Kemudian subtitusikan pada persamaan (II) dan (III), menjadi

Persamaan (II): $3(6+2y-z)+y-2z=4$

Selesaikan, didapat: $7y-5z=-14 \cdots (IV)$

Persamaan (III): $7(6+2y-z)-6y-z=10$

Selesaikan, didapat: $8y-8z=-32$ atau $y-z=-4 \cdots (V)$ .

Persamaan (IV) dan (V) membentuk SPLDV

Dari persamaan (V), $y-z=-4 \Leftrightarrow y=z-4$ , kemudian disubtitusikan pada persamaan (IV), menjadi:

$7(z-4)-5z=-14$

$7z-28-5z=-14$

$2z=14 \newline \newline z=7$

Kemudian subtitusikan $y=7$ pada persamaan $y=z-4$ diperoleh $y=7-4$ atau $y=3$ .

Subtitusikan $z=7$ dan $z=3$ pada persamaan $x=6+2y-z$ , menjadi $x=6+2(3)-7$ , diperoleh $x=5$ .

Sehingga himpunan penyelesaian adalah $\{3, 5, 7 \}$

Metode Eliminasi

Langkah penyelesaian pada metode eliminasi yaitu:

Eliminasi salah satu variabel sehingga diperoleh SPLDV
Selesaikan SPLDV yang diperoleh dengan langkah seperti pada penyelesaian SPLDV yang telah dibahas
Subtitusikan variabel yang telah diperoleh pada persamaan yang ada.

Belajar Bareng Hafiz...

Sejarah Matematika

Sejarah Biologi

Sejarah Fisika

Sejarah Kimia

Sejarah Bahasa Indonesia

Thursday, May 16, 2019

Trigonometri

Trigonometri

adalah ilmu matematika yang mempelajari tentang sudut, sisi, dan perbandingan antara sudut terhadap sisi. Dasarnya menggunakan bangun datar segitiga. Hal ini karena arti dari kata trigonometri sendiri yang dalam bahasa Yunani yang berarti ukuran-ukuran dalam sudut tiga atau segitiga.

Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear